Este documento describe un trabajo de cálculo vectorial realizado por tres autores para obtener el grado de Magíster en el aprendizaje de la física. El documento analiza el movimiento curvilíneo de una partícula en el plano cartesiano, incluyendo cálculos de vectores de posición, velocidad y aceleración. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de estas cantidades para diferentes trayectorias curvilíneas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
VICERRECTORADO DE POSGRADO E INVESTIGACION
INSTITUTO DE POSGRADO
PROGRAMA MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA EDUCACION
MENCION ENSEÑANZA DE LA FISICA
INVESTIGACION REALIZADA PARA OBTAR POR EL GRADO DE
MAGISTER EN EL APRENDIZAJE DE LA FISICA
TRABAJO DE CÁLCULO VECTORIAL
AUTOR:
ARNULFO SANTIAGO CHUIZA AREVALO
BLANCA FABIOLA PUMALEMA MOROCHO
MYRIAN CECILIAPUMALEMA MOROCHO
TUTOR:
Dr. GUILLERMO MACHADO

2. Movimiento curvilíneo.
Movimiento de una partícula en trayectoria curvilínea
El movimiento de una partícula se representa en el plano cartesiano, esta va trazando una
trayectoria curvilínea (figura 1), considerando que la posición de la partícula sobre la
trayectoria, se puede relacionar con dos posiciones, significando esto que: para cada
posición en el eje x, existe en correspondencia una posición en el eje y; implicando, que
tanto la velocidad como la aceleración tendrán dos componentes, una en el eje x, y la otra
en el eje y. Si del origen del sistema de referencia cartesiano, se traza un vector de posición
r(t) hacia la partícula, que esté indicando la posición del objeto, en el eje x, se tendrá la
función de posición x(t), y en el eje y, la correspondiente función de posición será y(t);
entonces, el vector de posición se escribe como:
r(t) = x(t) i + y(t) j (1)
El vector posición se mide en unidades de longitud(m, km, ft, etc)
y
r (t)
x
Figura 1 Trayectoria curvilínea de una partícula que se mueve alejándose del origen
El vector de velocidad de la partícula es la primera derivada del vector de posición:
∆r

3. v(t) = r·= dr(t) /dt = vx(t) i + vy(t) j (2)
Figura 2. El vector velocidad es tangente a la trayectoria curvilínea que va trazando una partícula que se mueve alejándose del origen
El vector de la aceleración es la segunda derivada del vector de posición o la primera
derivada del vector velocidad:
a(t) = r·· = dv(t) /dt = ax(t) i + ay(t) j, m/s2 o, ft/s2 (3)
Vector posición r en un instante t.
En la figura 3 se indica como la posición
del móvil cambia con el tiempo. En el
instante t, el móvil se encuentra en el
punto P, o en otras palabras, su vector
posición es r y en el instante t' se
encuentra en el punto P', su posición viene
dada por el vector r'.
Diremos que el móvil se ha desplazado ∆r
= r’- r en el intervalo de tiempo ∆t = t'-
t.
Dicho vector tiene la dirección de la
secante que une los puntos P y P'.
Figura 3. Vector posición r en un instante t.

4. Vector velocidad
En la figura 4, se indica la velocidad media en
los puntos: P, P1, P2.
El vector velocidad media, se define como el
cociente entre el vector desplazamiento ∆r y el
tiempo que ha empleado en desplazarse ∆t.
El vector velocidad media tiene la misma
dirección que el vector desplazamiento, la
secante que une los puntos P y P1 cuando se
calcula la velocidad media <v1> entre los
instantes t y t1.
Figura 4. Vector velocidad media
El vector velocidad en un instante, es el límite
del vector velocidad media cuando el intervalo
de tiempo tiende a cero.
Como podemos ver en la figura 5, a medida que
hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la
dirección del vector velocidad media, la recta
secante que une sucesivamente los puntos P, con
los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la
trayectoria en el punto P.
Figura 5. Vector velocidad en un instante de tiempo.
En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es
tangente a la trayectoria en dicho punto.

5. Vector aceleración
En el instante t el móvil se encuentra en P y
tiene una velocidad v cuya dirección es
tangente a la trayectoria en dicho punto.
En el instante t' el móvil se encuentra en el
punto P' y tiene una velocidad v'.
El móvil ha cambiado, en general, su
velocidad tanto en módulo como en
dirección, en la cantidad dada por el vector
diferencia ∆v=v’-v.
Figura 6. Vector aceleración.
Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad ∆v y el
intervalo de tiempo ∆t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.
Y la aceleración a en un instante
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de
movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.
Ejemplo 1:
Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función
del tiempo están dadas por las expresiones: x=3t3-2t2, y=t2-3t+1 m. Calcular:
 Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
vx=9t2-4t m/s
vy=2t-3 m/s

6.  Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
ax=18t -4m/s2
ay=2 m/s2
Ejemplo 2:
Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la
velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si
en el instante inicial t0=0 s, el móvil se encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular:
 Las componentes de la aceleración en cualquier instante
Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.
Dada la velocidad vx=4t3+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se
calcula mediante la integral
x=t4+2t2+1 m
Dada la velocidad vy=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula
mediante la integral
y=2t2+2 m

7. Ejemplo 3:
Se lanza un proyectil desde un punto de coordenadas (2,5) con una velocidad de (10 i, 8j)
m/s. Determinar:
a) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo
b) El tiempo de vuelo
c) El alcance horizontal
d) La altura máxima
e) La velocidad del proyectil en 2 segundos
f) La aceleración tangencial y centrípeta en 2 segundos.
a=g
a= -9.8 j m/s2
V= Vo + gt
V= [15i + 12j – (9.8)j]m/s
V= [15i + (12j – 9.8)j]m/s
r= ro + Vo. t + ½ gt
r= [4i + 3j + (15i + 12j)t – (4.9t2)j]m
r= [4i + 3j + (15t)i + (12t)j – (4.9t2)j]m
r= [(4 + 15t)i + (3 + 12t - 4.9t2)j]m
b) en el tiempo de vuelo se cumple que ry = 0
r= rx i + ry j = (4+15t)i + (3 + 12 t – 4.9 t)j
ry= 3 + 12t 4.9 t2 = 0
4.9 t2 – 12t – 3 = 0; de donde:
tv= 2.68s
c) El alcance horizontal es la posición horizontal que tiene el proyectil en tv:
rx= (4 + 15t)m
rx= [4 + 15(2.68)]m
rx= 44.20m

8. d) La altura máxima es la posición vertical que tiene el proyectil en t2, la cual se obtiene
cuando Vy =0.
V= Vxi + Vyj = 15i + (12- 9.8t)j
Vy= 12 – 9.8 ts = 0
ts
ry= (3 + 12t – 4.9t2)m
ry= (3 + 12(1.22) – 4.9 (1.22)2 ]m
ry= 10.35 m
e) V= [15i + (12 – 9.8t)j]m/s, para t= 1s
V={15i + [12 – 9.8(1)]j}m/s
V= (15i + 2.2j)m/s
f) ar= (a.uv). uv V= (15i – 2.2j)m/s
ar= (axux + ayuy).uv uv= 0.989i – 0.145j
ar=[0(0.989) + (-9.8) (-0.145)](0.989i – 0.145j)
ar= (1.4i – 9.6j)m/s2
ac= a – ar
ac= (-9.8j)m/s2 – (1.4i – 0.2j)m/s2
ac= (-1.4i – 9.6j)m/s2
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea
de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo
un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. Calcular:
 La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto
 La altura máxima

9. Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se
encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
1. Primero, se establece el origen en el punto del
lanzamiento y los ejes X e Y apuntando hacia arriba.
2. Se determinan los signos de las velocidades
iniciales v0x=0 y v0y=20 y de la aceleración ay=-10.
Se escriben las ecuaciones del movimiento
 Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X
ax=2
vx=2t
x=2t2/2
 Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de
los cuerpos)
ay=-10
vy=20+(-10)t
y=20t+(-10)t2/2
1. El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m. Dado y se
obtiene el valor de t y luego el valor de x.
y=-50 m
t=1.74 s
x=3.03 m
2. La altura máxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero
vy=0 m/s
t=2 s
y=20 m
La altura desde el suelo es 20+50=70 m.

10. 3. El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el
origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La
ecuación de segundo grado tiene dos raíces
10=20t+(-10)t2/2
t1=0.59 s y t2=3.41 s.
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo
tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la
tangente a la trayectoria y la normal a la misma.
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es
un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.
 Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.
 Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en
dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema
de referencia.
 Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de
la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.
 Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección
tangencial y sobre la dirección normal.
 Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se
calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cos θ y an=a sen θ

11. Ejemplo:
El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s.
Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar
el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho
instante.
1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la
aceleración
vx =3t-2 m/s, ax=3 m/s2
vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s2
2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son
vx =4 m/s, ax=3 m/s2
vy=19 m/s, ay=24 m/s2
3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración
4. Calculamos el ángulo θ que forman el vector velocidad y el vector aceleración
 Por el producto escalar: v·a=v·a·cos θ
 Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos
5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración
at=a·cos θ =24.1 m/s2
an=a·sen θ =2.0 m/s2
Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar
del vector aceleración a y el vector velocidad v.
v·a=va·cosθ=v·at

12. La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración
tangencial at
Radio de curvatura
En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria
cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la
dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a
ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La
distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el
radio de curvatura ρ.
En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la
dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ. que es el
ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se
desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ, tal como
se aprecia en la figura.
Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de
escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que
tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la
suma de dos términos

13. El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la
componente tangencial de la aceleración
El segundo término, vamos a demostrar que tiene la
dirección normal un. Como vemos en la figura las
componentes del vector unitario ut son
ut=cosθ·i+senθ·j
Su derivada es
El vector aceleración es
Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente